Zenei akusztika

Gitár

 

A gitárnyak geometriai kialakítása

 

Írta: Fonyó Ádám

 

Az előző fejezet végére eljutottunk odáig, hogy egy adott húr rezgésének frekvenciáját meghatároztuk. Ez voltaképpen a következő képlet:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

E képletet segítségül híva szeretném bemutatni a nyakon az egyes bundok elhelyezésének geometriáját.

 

Elemzésemhez az A hang napjainkban használatos 440 Hz-es frekvenciáját veszem kiindulópontnak. Értéke az idők folyamán sokszor változott, míg eljutott a –Magyarország által is 1951-ben elfogadott-, mostani értékhez. Standard gitárhangolásnál az üresen megpengetett A5 húr 3 oktávval mélyebbi 110 Hz-es frekvencián rezeg. Tehát az érték, amit keresünk:

 

f = 110 Hz

 

A fenti képlet alapján sokféleképpen el tudjuk érni, hogy a húr éppen ezen a frekvencián rezegjen. Mivel nem az a cél, hogy újra feltaláljuk a gitárt, ezért pár dolgot érdemes rögzítenünk. A magam részéről szeretném az alábbi levezetésben a húrt és annak bizonyos tulajdonságait, mint állandót meghatározni, mintegy rögzíteni.

 

Amikor a húrt megvásároljuk,  a csomagolás hátulján általában érdekes és hasznos információkat találunk:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A gitárhúr fő tulajdonságai

Forrás - Source: www.daddario.com

 

A képen a pirossal jelölt sorban láthatjuk az A5 húrunk 2 fontos tulajdonságát, az átmérőt (diameter, D) és a feszítési erőt (tension, T). Ismert tehát:

Ami számunkra most fontos lenne, az a feszítési erő és az egységnyi tömeg. A feszítési erő adott, de sajnos a tömeget nem tudjuk meghatározni a belső szerkezet pontos ismerete nélkül (mert ha ismernénk, akkor az átmérő segítségével könnyen kiszámíthatnánk). Amit viszont meg tudunk tenni, hogy rátesszük a megvásárolt húrunkat egy mérlegre. Mivel a húr hosszát is le tudjuk mérni (ez a csomagolásból kivett húr hossza)...

 

Lteljes = 965 mm

 

...és le tudjuk mérni a súlyát is egy mérleg segítségével, így megkapjuk a tömeget:

 

k = 3 g (kb.)

 

Ezekből ki tudjuk számolni az egységnyi tömeget:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Így már ismert a feszítőerő, továbbá az egységnyi tömeg is. Az a húrhossz kérdéses még, amelyhez adott feszítési erőnél az alaphang frekvenciája tartozik. Ezt a csomagolás hátuljára szintén ráírták:

 

L = 648 mm

 

Most már csak a számolás hiányzik. Ehhez először a mértékegységbeli különbségeket kell kiküszöbölnünk:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Behelyettesítve az egyenletbe:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Sajnos 113,028 Hz-et kaptunk a keresett 110 Hz helyett. Ennek az az oka, hogy a húr tömegét nem tudtam elég pontosan meghatározni. Kis iterálást követően a húr pontos tömege (ezt némely gyártó pontosan megadja):

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Ha ezt az értéket behelyettesítjük az eredmény:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Így már helyes a számítás. Nekünk azonban a geometriai kialakításhoz L-re kell rendeznünk az egyenletet:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

A temperált hangrendszerről szóló fejezetekben már részletesen elemzésre kerültek az egyes hangok frekvenciáinak alakulása, ezért most csak felsorolásszerűen nézzük az A5 húr első 12 hangjának frekvenciáit:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Frekvenciatáblázat

 

Most pedig számoljuk ki a B hanghoz szükséges húrhosszat:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Tehát az első bundunknak a húrlábtól 0,612 m-re, azaz 61,2 cm-re kell lennie. A számítást nem részletezem minden egyes bundra, csak a frekvenciaértékeket kell a keresett értékre átírni. Lássuk táblázatos formában:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Táblázat

 

Ezek a távolságok a bundok és a húrláb között a klasszikus gitáron.

 

Felmerülhet a kérdés, hogy mi a helyzet a többi húrral. A többi húrnál a hangok frekvenciaarányai nem változnak. Ami változik -ahogy a gitárunkon is láthatjuk-, az a húrok vastagsága és kis mértékben a feszítőerő. Tehát úgy vannak a húr...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

...arányai „belőve” -a feszítési erő és az egységnyi tömeg aránya-, hogy mindig azonos bundra essenek a keresett húrhosszak és ne legyen a húrokban lévő feszítőerő túlzottan nagy, valamint az egyes húrokban túlzottan eltérő.

 

Egyes gitárosok eltérnek ezektől az arányoktól. Például rövidebb nyakat csináltatnak, gyengébb feszítőerőt igénylő húrokat alkalmaznak (gyengébb ujjú gitárosok), más anyagból készíttetik a húrjukat, stb. Ezekhez a módosításokhoz a képlet adott részeit változtatják meg és számolják ki a szükséges értékeket.

 

Az eddig leírt számítások határozzák meg a gitár alapvető fizikáját és ebből következően a fő geometriai elveket. Következtetésünk, hogy az egész hangszer „lelke” a húr.  A gitár egyéb paraméterei, úgymint a gitár anyaga, a test kialakítása, stb. már csak a (hang)színezetét adják a rendszernek, ám enélkül csak magunknak tudnánk zenélni, ahogy egykoron az íj segítségével a vadászok tették, bár ennek hangzásában is jelentős szerepe volt az íjtest anyagának. Az egész rendszerben ugyanis a húr a hangszer hangkeltője, akusztikai rezonátora és egyben sugárzója pedig maga a test, melyről részletesen a következő fejezetben írok.

Pénzes-féle Gitáriskola - Zenei akusztika - Gitár - A gitártest fizikája

Zenei akusztika

Gitár

 

A gitártest fizikája

 

Írta: Fonyó Ádám

 

A rezonátor szerepe

Miután a rezgéssel kapcsolatos fizikai körülményeket az előző fejezetekben megvizsgáltuk, láthattuk, a rezgő húr önmagában nem elég arra, hogy mások számára is élvezhető zenei előadást nyújtson, mert nem rendelkezik annyi energiával, hogy ne csak közvetlen közelről halljuk.

 

Továbbá a húr rezdülésekor a mindenki számára ismert kioltási jelenség is létrejön, amelynek fizikai háttere az, hogy egy szabályos színusz hullámot vizsgálva az azonos pozitív és negatív amplitúdók összegéből zérus amplitúdót kapunk. A kisméretű hangforrások közel azonos időben küldenek a közegbe sűrűsödést és ritkulást, ezért ezek gyengítik egymást.

 

Továbbá a tér minden irányába terjedő hangenergia nagy része elpazarlódik, ezért ennek megfelelően irányítanunk is kell a hangot.

 

Fontos még, hogy a rezgés által befektetett energia aránya kisebb legyen, mint a kisugárzási energia, így tudjuk elérni, hogy a zenésznek ne kelljen túl sok munkát végeznie, miközben rezgésben tartja a hangszert.

 

A fenti kritériumokat teljesíti a rezonátor, melynek szerepét a gitár teste tölti be.

 

A rezonátor működési elve, hogy valamilyen hangforrástól -jelen esetben a húroktól–, rezgési energiát vesz fel. A rezonátor tulajdonságainak köszönhetően minden periódusban egy kicsit több energiát nyer, azonban a kisugárzási és a belső veszteségek nem hagyják a rendszert a végtelenségig töltődni, ezért beáll az egyensúly. Összegezve: a rezonátor a rezgési energiákat felveszi és késleltetve kisugározza. Tehát az időben összegyűjtött energiát sugározza ki a térbe.

 

Tekintsük át a rezonátor szükséges tulajdonságait!

Az egyik legfontosabb a belső csillapítás, amely azért fontos, hogy a rezgés változására minél gyorsabban reagáljon a rezonátor, különben „összefolynának” a hangok. Természetesen minél nagyobb a csillapítás, annál alacsonyabb a kisugárzott hang energiája. Ha a belső csillapítás kicsi, akkor a kisugárzott hang energiája nagyobb lesz, de ehhez nagyobb hangzási tehetetlenség párosul.

 

A másik fontos tulajdonság, hogy a rezonátor ne egyetlen hangból származó rezgést tudjon felerősíteni, hanem ezt a hangok széles skáláján el tudja végezni. Ezt részben a különböző alakokkal tudják elérni, melynek segítségével sok rezonanciahelyet hoznak létre, részben pedig megfelelő anyagválasztással. Ebben természetesen az is benne van, hogy a rezonátor nem csak az adott hangot, hanem az adott hang felhangjait is erősíti. Ezeknek az egyedi rezgéseknek szuperpozíciójából jön létre az egyes hangszerek jellegzetes hangja.

 

A rezgés útja

A gitár húrját mi rezgetjük meg, ez a rezgés részben a húrlábon és nyakon keresztül gerjeszti a gitár testét, mely a rezonátor szerepét tölti be, továbbá a hangrésen keresztül a bezárt légtömeget is gerjeszti. A visszahatás a gitárnál elég jelentős és mivel a visszahatás a rezgéssel azonos fázisú, ezért a húrt gerjeszti, ami növeli a lecsengési időt.

 

A pengetés egyszeri, így a gerjesztés nem folyamatos. Ez azért lényeges, mert nem vonhatunk el túl nagy energiát a húroktól, mert a hang nagyon hamar elhalna. A rezonátornak tehát rosszabb hatásfokúnak kell lennie. Ez azzal is jár -a fent említett tulajdonságok alapján-, hogy a kis csillapítás miatt a hangok összefolynak, ezért a klasszikus gitár gyors játékra nem alkalmas. Hallhatjuk ezt például virtuóz flamenco gitárosok játékánál, ahol a gyors szólók alatt a gitár „nem rezeg ki” teljesen, ezért szinte csak kattogó hangot hallunk, a gitár saját karakterét azonban már nem.

 

Elöljáróban is jól láthatjuk, hogy egy gitár megalkotásánál rengeteg változóval kell számolnunk. Maga a gitárjáték és a gitár hangjának szépsége is szubjektív tényező, ezért nem lehet egyetelmleges receptet adni a jó gitár elkészítéséhez. A hangszerkészítők és a zenészek ebben természetesen a történelem folyamán szorosan együttműködve dolgoztak.

 

Ebben a cikkben magát a működési elvet szeretném bemutatni és a különböző változókat; nem fogok alkotni egy, a véleményem szerint fizikailag megfelelő  gitárformát vagy annak absztrakt képletét.

 

Először a rezgés útját vizsgálom, majd az egyes részeket külön-külön elemzem.

 

A megpengetett húr rezgéseit kisebb mértékben a nyaknak, nagyobbrészt a húrlábnak és a levegőnek adja át. A nyak rezgése gerjeszti a gitár testét (korpusz). A húrláb a rezgést továbbítja a test egyik legfontosabb részének, a rezonánstetőnek. A rezonánstető rezgésbe hozza a belső légtömeget, valamint a gitártest oldalát és hátlapját. A gitár egész teste és a húrok tehát rezgéseket adnak át a gitár belső légterének. A belső légtérben a rezgés egy része különböző ütközések és interferenciák után a hangrésen keresztül a szabadba távozik.

 

A nyaknak elsősorban statikai szerepe van: a 6 húr minden húzóerejét meg kell tartania. A nyakat ezért általában keményfából készítik. A test és a nyak találkozását is az erőtani megfelelésnek rendelik alá, bár itt is fontos a rezgésátadás. A húrláb az egyik legfontosabb rezgéstovábbító a rendszerben, amely ragasztva van a rezonánstetőhöz. Legfontosabb követelmény, hogy lehetőleg minimális tehetetlensége legyen, tehát csillapítás nélkül közvetítse a rezgést.

A rezonánstető a gitártest lelke. A rezonánstetőben fut végig a húrlábból leadódó rezgés, mely rendkívül összetett. A haladó és állandó hullámok mellett felületi és térbeli hullámokból tevődik össze és ha ehhez még hozzávesszük, hogy a faanyag inhomogén -ezért rostirányban gyorsabban terjednek a hullámok, míg rostirányra merőlegesen lassabban-, észrevehetjük, hogy egy több szabadságfokú rezgéssel kell számolnunk. Részletesebben a későbbiekben tárgyalom az ehhez köthető fizikai hátteret. Innen a rezgés egy része a bezárt légtérbe, egy része a káván keresztül a gitároldal és hátlapjába terjed. A káva tulajdonsága szintén kettős, akárcsak a húrlábé: statikai és rezgéstovábbító szerepe van.

A gitár hátlapja meghatározó a belső légtér rezgésére. A rezonánstetőtől kiinduló hanghullámok a hátlapról verődnek vissza. A visszavert hang irányát a hátlap íve határozza meg, intenzitását pedig a hátlap rezgése módosíthatja. Láthatjuk, hogy a belső tér rezgését az egész test gerjeszti. A bezárt levegőben lévő hullámok hol erősítik, hol kioltják egymást, a hang pedig a sok visszaverődés, esetleges interferálás után a hangrésen keresztül távozik. A hangrés nagysága természetesen meghatározza a kimenő hang erősségét, de nem lehet túl nagy sem, mert akkor a belső levegő már nem tekinthető zárt térnek, továbbá figyelembe kell venni, hogy a rezonánstetőtől vesz el területet.

 

Végignéztük tehát a rezgés útját a húrtól a szabad térig. Most vizsgáljuk meg részletesen az egyes főbb részeket és az ehhez tartozó számítási, valamint anyagtani hátteret.

 

Számítási irányelvek - gitártest

A főbb számítások 2 nagy részre oszlanak. Az egyik magára a test rezgésére irányul, a másik a bezárt levegő geometriájára és az ebben terjedő hanghullámokra.

Úgy gondolhatjuk, hogy a gitár testét úgy kell kialakítani, hogy önrezgése a húr rezgésével azonos legyen, így jó erősítést tudunk elérni. De figyelembe kell vennünk, hogy a hangszereknél nem az a jó rezonátor, ami egy hangot erősít, hanem egy széles frekvenciatartományt, tehát a testet úgy kell kialakítanunk, hogy a rezgéseket közel egyformán erősítse. Ezt úgy tudjuk elérni, hogy az önrezgésszám a hangszeren játszható hangok alatt legyen. Ahhoz, hogy ezt bizonyítsuk, először az alap rezgéstani ismereteket kell elemeznünk.

 

A csillapított gerjesztett rezgés egyenlete...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

ahol:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Az egyenlet megoldását nem részletezem, megoldása és részletei akár az interneten is megtalálhatók (kulcsszavak: csillapított gerjesztett rezgés, modálanalízis). Azonban itt leírnám a teljesség igénye nélkül az elmozdulásra kapott összefüggést:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

A gyök alatt szereplő első tag a gerjesztett szabadrezgésből származik, a második tag a csillapításból (ω – a rezgés körfrekvenciája; ω0r – sajátkörfrekvencia). Mivel ez a 2 tag a nevezőben található, ezért a gyök alatt szereplő tagok minél jobban közelítenek a nullához, annál nagyobb a kilengés. Ám ahogy már említettem, a hangszernél nem az a lényeg, hogy egy-egy hangot erősítsünk, ezért tudatosan az önrezgésszám megválasztása a játszható hangok alatt lévő tartományra esik. Nézzük a nagyítás függvényét a frekvenciák arányában:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Grafikon

 

Az ábra egy adott csillapításnál mutatja az amplitúdók értékét, ahol minél nagyobb a csillapítás, a görbe annál laposabb. Látható, hogy az 1-es arány alatt a függvény nagyon meredek, azaz a nagyítás nem lesz egyenletes az 1-es arány után, következésképpen ha a gerjesztés frekvenciája nagyobb, mint a sajátfrekvencia, akkor az ábra ellaposodik, az erősítés kiegyenlítettebb lesz.

 

Ilyen bonyolult több szabadságfokú rezgést, mint például a rezonánstető rezgése csak diszkrét matematikai modellel tudunk kiszámítani. A fenti kiinduló egyenlet megmutatja, hogy mitől is függ a rezgés lefolyása.

M tömegmátrix a faanyag sűrűségi tulajdonságaitól függ, a K merevségi mátrix a fa szilárdságtani tulajdonságaitól és geometriai kialakításától függ, a S csillapítási mátrix pedig a csatlakozó részek és a faanyag belső tehetetlensége és a belső feszültség értékeitől függnek.

Az optimális test meghatározása tehát egy sokváltozós, bonyolult matematikai egyenlethez vezet. Ezt számítógép segítségével például végeselemes héjmodellel tudják kiszámítani. A modell módosításával keresik az optimális testet, mely mind vizuális, mind akusztikai szempontból is megfelel.

 

Faanyagok kiválasztása

Az előző részben már kifejtettem, hogy a faanyagok mely tulajdonságai határozzák meg a test rezgését. Ebben a részben a faanyagok kiválasztására térek ki. Néhány példát említek a különböző hangszerhez használt faanyagok tulajdonságaiból. Alapvető követelmény a sűrű és egyenletes évgyűrűszerkezet, továbbá a lassú és egyenletes szárítás.

Arról már írtam, hogy a hullám terjedése egyes anyagokban...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

...ez az összefüggés felírható...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

...képlettel is, ahol E a faanyag rugalmassági modulusa, ρ a faanyag sűrűsége. A hangszerfa objektív kiválasztására a fentiek alapján az akusztikai állandót vezették be. Az akusztikai állandóra az...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

...egyenletet használják. Az alábbi táblázatban pár hangszerfa tulajdonságát láthatjuk:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Táblázat

 

Számítási irányelvek – bezárt légtömeg

A bezárt légtömegnek is külön jelentősége van a gitár akusztikájában. Amennyiben a hangrés nem túl nagy, úgy tekinthetünk rá, mint például a fúvós hangszerek belsejére, tehát saját akusztikai teret alkot. A térben terjedő hanghullámok fizikai tulajdonságaival a zenei akusztika első részében foglalkoztam. Ezt a bezárt teret (a hangrésen kívül) a gitár egész teste gerjeszti. Vannak helyek természetesen, amelyeket jobban, ilyen például a rezonánstető, kiváltképp a húrláb környéke, és vannak, amelyeket kevésbé, például a káva részek. Mivel ez egy homogén, légnemű tér, a számítások szinte csak a geometriától és a gerjesztéstől függnek. Az alábbiakban a geometriai függőségről látható néhány példa a hátlap függvényében:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Ábra

 

Az ilyen hullámterjedési feladatokat a fentihez hasonló módon, de nem nyilak, hanem ívek segítségével modellezik, mert úgy a kioltás és interferencia helyek is láthatók. Magának a bezárt levegőnek is van tehát egy, vagy több saját hangja. Részben úgy viselkedik, akár egy akusztikus üregrezonátor. Természetesen itt is elég bonyolult számítási és szerkesztési elveket kell követni. A gitár belseje tele van erősítésekkel, merevítésekkel, melyek mind-mind befolyásolják a test rezgését, valamint a belső térben terjedő hullámok útját.

Pénzes-féle Gitáriskola - Zenei akusztika - Hegedű - A vonóval gerjesztett húr

Zenei akusztika

Hegedű

 

A vonóval gerjesztett húr

 

Írta: Fonyó Ádám

 

Amikor a hegedű működéséről képet szeretnénk kapni, szembesülnünk kell azzal, hogy nem olyan tisztán írható le, mint a gitár akusztikája. A hegedűkészítők legtöbbször a több száz éves hagyományokra támaszkodva, tapasztalati úton és rengeteg kísérletezéssel készítik el a hegedűket. Gondoljunk csak arra, hogy a manapság is a legjobb hegedűk között számon tartott Stradivari hegedűket a mester az 1700-as évek legelején készítette, éppen amikor a hullámokhoz kapcsolódó alapvető matematikai apparátusokat alkották meg (Heimholz). A mai napig is tudósok sokasága vizsgálja ezeket a hegedűket.

 

Mitől is van páratlan hangjuk? Formai kialakítás, lakkozás, különleges erezetű hangszerfák és kezelésük, stb..., de lényegében a receptet ma sem tudják pontosan. Azt viszont több teszt is bizonyította, hogy a mai hegedűkészítő mesterek már jobb, kényelmesebb és szebb hangú hegedűket képesek készíteni. Ebben a fejezetcsomagban az alapvető fizikai törvényeket szeretném összefoglalni, továbbá szeretnék kitérni a hegedűkészítők által leírt, különböző hangszerészeti fogások mögött sejthető matematikai és fizikai törvényszerűségekre.

 

Először meg kell vizsgálni a hegedű működését. Hasonlóan a gitárral foglalkozó fejezetcsomaghoz, itt is a húrtól követem a rezgés útját egészen a szabad légtömegig.

 

A vonóval gerjesztett húr

 

A fejezetcsomag első részében a folyamatosan gerjesztett húr fizikájával foglalkozom. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, amikor vonóval gerjesztünk egy húrt!

 

Ahogy érezzük, ez nem egy magára hagyott, csillapított rendszer, mint a gitár esetében, hanem folyamatosan gerjesztett. (A gitárnál a gerjesztés pusztán egy pillanatnyi hatás és utána a rezgés lefolyása csak a geometrián és az anyagi tulajdonságokon múlik). A hegedűt egy vonó segítségével szólaltatják meg. Tehát már maga a gerjesztés is bonyolult és sokváltozós esemény, amit nagyon nehezen lehet matematikailag leírni.

 

Tekintsük át a gerjesztésnél lévő változókat!

A fentiek csak szigorúan a gerjesztő eszközhöz kapcsolódnak még nem is esett szó a vonó és a húr interakciójáról, de már így is 8 változónál tartunk!

 

Az alábbi videó segítségével lassítva nézhetjük meg mi történik a gerjesztés folyamán:

A folyamat elején megindul a vonó és a húr mindaddig a vonóra tapad, amíg a tapadási súrlódási erő ezt lehetővé teszi. Miután a kitérés eléri azt a nagyságot, amikor a húr feszítéséből és rugalmasságából származó erő legyőzi a tapadási erőt, a húr „leszakad” a vonóról és „megpendül”. Ez nem tiszta pendülés, ugyanis a vonó folyamatosan fékezi a húrt, tehát inkább csúszásnak lehet nevezni. Majd amikor a húr a rezgésének következő fél periódusába ér, a közel ugyanakkora sebességgel és ugyanarra mozgó vonóhoz természetesen ismét odatapad; a vonó megint egy kicsit meghúzza a húrt és folytatódik a folyamat. Tehát fél periódusonként a húr újabb gerjesztést kap. Az alább látható képen a fűrészfogas alakzat ennek a folyamatos, félperiódusonként ismétlődő gerjesztésnek a sematikus ábráját mutatja:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A húr gerjesztésének sematikus ábrája

 

Egy sorozatkép segítségével nézzük meg még egyszer, hogy mi történik. Az alábbi ábrasor a megvont húr mozgását illusztrálja:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A húr gerjesztésének sematikus ábrája

 

Látható, hogy a c ponttól az i pontig terjedő szakaszban a húr együtt mozog a vonóval. A tapadási súrlódási erő határozza meg, hogy mekkora amplitúdónál történik meg a „leszakadás” (a pont). Ezután a húr elcsúszik a vonón (a-c pontok közötti szakasz). A húr –ahogy a gitár esetében már megvizsgáltuk-, a rezgésének következő szakaszában az alsó pontról elindul egy felfelé gyorsuló mozgással. Amennyiben a mozgás sebessége megfelelő, ismét tapadási súrlódási erő lép fel. Az ábrasor alapján érezhetjük, hogy a fenti fűrészfogas gerjesztési ábra egy elég leegyszerűsített és idealizált modellt mutat. Egy olyan modellt, amelyben a gerjesztés periódusa és a húr rezgésének periódusa egybeesik.

(Természetesen a húr merevségéből adódóan nincs ilyen éles váltás a függvényben, hanem lekerekített az átmenet).

 

A valódi mozgást nem egyszerű elképzelni. A vonó folyamatosan tapad és csúszik a húron. A legérzékletesebb hasonlat, mint amikor a kukát húzzuk az aszfalton és a kuka alja mindig beleakad az aszfalt felületén lévő apró kavicsokba; a húzóerő miatt mindig kiugrik onnan és átcsúszik újabb 2 kő közé, mindeközben halljuk a hanghatást és érezzük a rezgést is. A vonó ugyan tapadó-csúszó mozgást végez egy bizonyos periódusszámmal, ez gerjeszti a húrt, de a húr anyagi tulajdonságai miatt a rezgési periódusa a legtöbbször eltér a tapadás-csúszás periódusszámtól, ezért a húr fő rezgésére ezek a további gerjesztések „rárakódnak”. Emiatt dúsabb felhangtartalomra számíthatunk. Nézzük meg, hogy mi járul még hozzá a felhangtartalomhoz!

 

Már említettem a gerjesztés helyének fontosságát. A húrt nem középen gerjesztjük. A húr, amikor „leszakad” a vonóról, rezegni kezd. Ez a rezgés továbbterjed a húrban, de a vonó a kimozdulást egyből fékezni is kezdi. Majd a húr a rezgésének következő periódusában, a tapadás függvényében pedig mindig kicsit eltérő periódusban kap egy újabb gerjesztést, ezért elég bő felhangtartalomra számíthatunk. Ezért fontos például a megfelelő gyantázás, amivel az újraindítások (és leszakadások) periódusainak és amplitúdóinak ingadozását csökkenthetjük. Ha nem megfelelő a tapadás vagy nem egyenletes a húzás, akkor újabb rezgések indulnak el még azelőtt, hogy a periódus a végéhez érne. Ez megint növeli a felhangtartalmat.

 

A gitárnál már beszéltünk a csillapítás szükségességéről és módjáról. Látható, hogy ennél a hangszernél a folyamatos gerjesztés jóvoltából nagy csillapítású rezonátort alkalmazhatunk, amely gyorsan és pontosan követi a gerjesztést. A hegedűs minden mozdulatát pontosan követi a hangszer, ezáltal a hegedűvel lehetőségünk nyílik az érzelmek lehető legpontosabb tolmácsolására.

 

Egyes komponensek leírása

 

A fenti szakaszokban áttekintettem, hogy mi történik a gerjesztés során. Most vizsgáljuk meg az egyes folyamatokat részletesen.

 

Heimholz végzett részletes kísérleteket a vonóval gerjesztett húr viselkedésének megértésére. Az ő kísérleteit továbbfejlesztve vizsgálják manapság is. A kísérletek lényege, hogy egy oszcilloszkóp segítségével jelenítik meg a húr mozgását. Az alábbi képeken egy ilyen vizsgálat eredményei láthatóak:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Oszcilloszkóp

Pénzes-féle Gitáriskola - Oszcilloszkóp

 

A felső képen a befogáshoz közeli gerjesztés, a másik képen a középen lévő gerjesztés képei láthatóak. A középen történő gerjesztésnél észrevehetjük, hogy a fűrészfogak teljesen szimmetrikusak. A gerjesztés fent részletezett leírásából és a kísérleti eredmények értékeléséből kitűnik, hogy a húr visszatérésénél a csúszó súrlódási erő számottevően nem módosítja a rezgés képét. Ennek oka, hogy a hegedű egy erősen csillapított rendszer. Továbbá az is következik, hogy a húr mozgása ebben az esetben is leírható egy szabadrezgésként. Lássuk, hogy mi történik, ha a vonóerőt változtatjuk:

 

Pénzes-féle Gitáriskola

 

A felső kép a rezgéskép nem egyenletes súrlódás esetén. Ekkor a súrlódási erő változó és engedi a húrt szabadon kilengeni. A második képen a konstans súrlódás melletti rezgésalakot látjuk, ez esetben megfigyelhető az újabb és újabb rezgések indulása, miközben a húr a saját frekvenciáján is rezeg. A súrlódási erőhöz tehát a gyantázás és a hegedűs nyomóereje járul hozzá, ezért mind a 2 rezgésképet el tudja érni a hegedűs a nyomóerő változtatásával. Kísérleti eredmények azt mutatják, hogy a vonó és a húr közti optimális súrlódási együttható:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

A súrlódás a felhangtartalommal van szoros kapcsolatban. A vonó sebessége és a vonás helye pedig a hangintenzitásban játszik nagy szerepet. Kísérletek alapján az összefüggés:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

Tehát a maximális amplitúdó arányos a vonó sebességével és fordítottan arányos a gerjesztés helye és a láb közti távolsággal.

Nézzük a kísérleti összefüggést is:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Grafikon

 

A fentiekből kitűnik, hogy minél hangosabban szeretne játszani valaki, annál inkább a lábhoz közel kell játszania gyors vonóhúzással. Természetesen ennek is van korlátja, hiszen ha nagyon közel gerjesztjük a húrt a lábhoz, akkor az közvetlenül elnyeli az energiát és a visszaverődő hullámok még ki is oltják a gerjesztést.

 

A nyomóerőnek is vannak kritériumai. A leírtak miatt érezni, hogy ha kis nyomóerővel, de gyorsan húzzuk a vonót, akkor elkezd ugrálni a húron, továbbá minél közelebb vagyunk a lábhoz, annál erősebben kell nyomni a vonót. Ennek a nyomóerőnek a minimuma az alábbi képlettel fejezhető ki...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

...ahol:

Lássuk ezt az összefüggést grafikusan...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Grafikon

 

...és nézzük meg azonos vonósebességgel a különböző nyomóerővel gerjesztett húrok sebesség-idő grafikonját:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Grafikon

 

Itt is megfigyelhető -mint a nagy nyomóerő esetében–, hogy a húr sebessége nem egyenletes, ez is a dúsabb felhangtartalomra enged következtetni. Emellett természetesen fontos megtudni, hogy melyik az a legnagyobb nyomóerő, amelynél a rezgés még létrejön és nem fékezi le a súrlódás az egész folyamatot:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Képlet

 

A komponensek eddig leírt tulajdonságai úgy is felfoghatók, mint a vonóval gerjesztett, szabadrezgést végző húr mozgási egyenleteinek peremfeltételei. Ennek a mozgásnak a leírását -ahogy a gitár akusztikájával foglalkozó fejezetcsomagban is megtettem-, itt szintén el lehet készíteni analitikus és diszkrét módon. Ebben a fejezetben az analitikus képleteket szeretném ismertetni.

 

A fizikai kísérlete